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第一次聽到「數學的美感」這回事,已經是三十歲之後的事了。在閱讀有關愛因斯坦的書時看到愛因斯坦發現根據他提出的廣義對論,宇宙應該是處於萎縮或膨脹的狀態,而非恆常靜止,這推論讓愛因斯坦非常困擾。以愛因斯坦的宗教關和數學的美感來看,宇宙應該是靜止,呈現永恆的靜謐的美麗狀態。為了彌補他認為廣義相對論的計算所呈現的「瑕疵」,愛因斯坦另外發明了「宇宙常數」的概念。加入宇宙常數之後,會將宇宙膨脹或萎縮的力量抵消,宇宙便呈現靜止的 「美麗」狀態。在後來哈伯(是的,就是哈伯太空望遠鏡所紀念的那位天文學家)觀測發現宇宙是不斷膨脹,而且是加速膨脹之後,宇宙常數便被愛因斯坦扔進垃圾筒,而且自我解嘲地說那是他畢生最大的錯誤。(註1)

令我不解的是,到底「數學的美感」是什麼?讓愛因斯坦這麼信奉不疑?比愛因斯坦更早的科學家,提出電磁學方程式的馬克斯威爾(Maxwell),也是因為根據數學的美感完成算式。馬克斯威爾提出當時還未能發現、證實的電磁效應以及電磁波,他的想法是因為數學的計算所致,讓他相信電磁波的樣貌是應該如此。馬克斯威爾的方程式和電磁波後來也被證實、發現,完全彰顯出理論數學的威力,靠著數學上的美感,讓人類發現本來未能發現的存在。自小的教育便告訴我,數學屬於智育,是很重要的,美育相關的很難當飯吃,可以不去管它。雖然這個重要性的排比在後來完全被推翻,比如說職場上最重視團隊工作的「群育」,為人處事最重要的是「德育」,持續讓自己成長及良好生活的是「體育」的相關知識與鍛鍊,這幾項都讓我覺得比求學時要求的那種「智育」表現更令我覺得重要。也許是只有「智育」可以被評分、用來競賽,所以就變成求學時最重要的,但偏偏這是最常在離開學校後被拋棄的。在獨尊智育的情況下,沒有其他閒雜科目可以「干涉」智育學科純粹性,所以我從來沒有在數學課上聽到老師用「美」這個形容詞,只有對不對,沒有美不美。隨著我的數學成績每下愈況,嚴格說來只有在代數的部分差而已,但代數差也就沒救了。即使我的物理化學成績都還很好,但我已經被認為也自己認為該去念第一類組,這下連物理化學生物都告辭了。這下子我更搞不懂數學的美了,更何況那時候沒有數學之美的概念。

獲得2001年普立茲獎戲劇類及東尼獎最佳戲劇雙料得主美國劇作家大衛‧奧本(David Auburn)的作品《求證》(Proof)(註2)剛在台北完成加演場次,這齣戲在去年秋天由綠光劇團搬演之後獲得極佳的口碑,今年加演又是滿座。劇情是一位卓越的數學家次女凱瑟琳在數學家發瘋之後照料父親的生活,以致於沒法上大學。數學家長女克萊兒在紐約工作,工作成果不錯,準備要結婚。故事發生在數學家過世後幾天,數學家以往的學生、現在是大學裡的數學教師霍爾,到數學家家裡整理他遺留下來的上百本筆記本,想在裡面找出老師是不是有任何突破以往的發現,但他的工作只是徒然。霍爾很喜歡凱瑟琳,但凱瑟琳一直擔心自己會太像父親,一樣聰明卻也怕會同樣地發瘋。霍爾在數學家上百本塗滿他「胡言亂語」的筆記本中只找到一段清晰可辨的句子,寫的是關於凱瑟琳的事,那天是她的生日。霍爾帶了這本筆記本給凱瑟琳,凱瑟琳突破心防開始接受霍爾,在一個濃情蜜意的上午,凱瑟琳做了重大的決定,給了霍爾一把鑰匙去打開父親書房抽屜,拿出藏在裡面的筆記本。

凱瑟琳的姊姊克萊兒一心想要妹妹離開芝加哥跟她到紐約去住,她擔心的其實是跟爸爸腦袋太像的妹妹有一天也會發瘋,所以想要就近可以「照顧」她,不管是自己照顧或是交給專責機構,而不要像當年他們老爸發瘋後,母親和凱瑟琳堅持要把數學家留在家裡照顧,只至拖累了家人。霍爾狂喜地自樓上書房衝下來,因為他打開上鎖的抽屜後找到一本筆記本,裡面清晰地寫了一個數學證明,霍爾說:「它看起來像是證明了一個定理,關於質數的數學定理,一些數學家都試著要去證明它…實際上自從有數學家以來大家就在試了吧。大部分人都認為這做不到。」(Auburn 40)

霍爾向不懂高階數學的克萊兒,以及大部份的觀眾做了解釋,雖然我們還是不知道那是什麼,但是「自從有數學家以來大家就在試了吧」這句話實在太過驚人,所以大家也會知道那是很重要的數學證明,就像1993年費瑪最後定理(註3)被證明般的石破天驚。霍爾追問凱瑟琳何時發現這筆記本的,凱瑟琳說:「不是我發現的,是我寫的。」這一番話說出來更是驚人,而整齣戲也非常「有道德地」在這裡幕落,中場休息。下半場就繞著凱瑟琳和數學家父親的回憶,以及面對現實她得向姊姊和情人證明那是她的證明。

看了這齣難得的好的寫實劇作,我開始懷念起我不成材的興趣,數學很不好但卻對於這些數學所證明出來的成果很有興趣。這些有關數學的作品怎麼老是愛提到質數?讓我想起國小五年級開始教質數、因數時的苦惱,我的數學也是在那時開始顯出疲敗之相。要分辨哪一個數是不是質數,哪一個數是哪一個數的因數,幾個數之間的最大公因數、最小公倍數,這完全不是計算能力問題,得下苦工去辨認,而之前的數學教育教的都是怎麼運算,而質數是一種運算之外的「邏輯」。所以我討厭質數,很怪,不明,無法以有系統的方式來檢驗。我對於數學的感覺只有甚不順手,頂多是解不解得開問題的成就感,數學會對後來的我有所吸引,大概是它能解釋、描繪非感官常理所感受到的狀況,比如說相對論之類的。但相對論我也是看不懂算式,只是對它所引發的各種解釋感到好奇。再怎麼說,最大的動力僅止於好奇。直到我看到《比光速還快》(Faster Than the Speed of Light)以及《深夜小狗神祕習題》(The Curious Incident of the Dog in the Night-Time)這兩本書。

在《比光速還快》我知道了前面所提到的愛因斯坦最大的錯誤,肇因於他對於數學美感的堅持;在《深夜小狗神秘習題》裡的患有「艾斯柏格症候群」(Asperger's Syndrome)的主角克里斯多弗卻最喜歡質數,他的這本數章節也是以質數來編排,所以這本書從第2章開始,接下來是第3章、第5章、第7章…。克里斯多弗說他知道七千五百零七以前的所有質數,「質數就是你把所有的數學模式都去除之後餘下的數字。我覺得質數就像生命一樣,是非常合邏輯的,但你永遠也想不通那些規則,即使窮畢生之力去思考也不能。」看到的本書,我才第一次聯想到數學的哲學層次,是一種美學的思考,不關乎運算,或是關乎去除掉所有算式之後的更本質的數字本身,有一種無印良品的味道。這種去思考數字本身,讓我聯想到另外一本小說,《博士熱愛的算式》,書中的博士因車禍得了失憶的疾病,他的記憶容量只有八十分鐘,像是一片只能記錄八十分鐘的錄影帶,超出了八十分鐘,之前的記憶就要被抹去。

《博士熱愛的算式》的敘述者是一位女管家,她被派去幫博士服務,她有一個十歲兒子叫根號,這是博士幫他取的綽號,因為他的頭頂很平坦,像根號(√),博士說:「只要使用根號,就可以給無窮的數字、肉眼看不到的數字一個明確的身份。」這句話明確的意義是什麼,其實我不那麼瞭解,因為在學習根號的時候,只知道使用根號(平方根)所得的數字代表其連乘兩次可以得回原數。現在稍為想一下,根號,或平方,應該和幾何有很大的關係,正方形的邊和面積的關係。如果由英文來理解,應該可以馬上知道這些來源,而中文則否,我也沒印象以前數學課有哪位老師教到這些。但這應該是很必要的學習誘因,可以將數字變成某種圖像來表示,其間的奧妙應該是吸引學生繼續探究的原因,但我的小學到中學十二年生涯,不管多麼王牌的老師,都沒人跟我說過這些美妙的事。《博士熱愛的算式》裡面甚至講了由1加到10這樣的數列該怎麼計算,我會由我自己的心象衍生計算方式:比如說首尾數相加除以2會等於中間數然後再去均分有多少中間數來快速計得結果。我知道自己可以透過這種方式理解,但要跟別人解釋,就得花費不少唇舌。可是書裡的博士畫了簡單的圖,就只是幾何的梯形(頁92-93),簡要地便解決了這個問題,頓時使這問題有一個美麗而動人的解答。

博士說,他研究的領域是「被稱為『數學女王』的領域」,「像女王般美麗、高貴,但也像惡魔般殘酷。其實說起來很簡單,就是研究誰都知道的正整數1、、3、4、5、6、7……的關係。」看到這裡,我不禁想到很多領域越到高深,研究的對象就越質樸,似乎簡單到不可思議,但卻又充滿無比的魅力。比如說烹飪,記得金庸在《射雕英雄傳》中安排洪七公與郭靖、黃蓉第一次碰面,黃蓉以好廚藝換取洪七公教郭靖降龍十八掌,洪七公吃到刁鑽,跟黃蓉說炒個青菜來吃吃。單單一只炒青菜果然就是行家下的考題,廚藝高下立見真章。忘了看唐魯孫還是逯耀東的文章,提到家裡面招考廚子,考題就是做個蛋炒飯。看來炒青菜和蛋炒飯,也是烹飪領域的女王。《博士熱愛的算式》裡博士教了一些正整數的奧妙,讓敘述者這樣一位管家也深陷其中的瑰麗。管家的生日是二月二十日,博士說220是一個聰明的數字,他把以前念書得獎的手錶拿下,上面刻了「學長獎 NO.284」,接著他就說明220和284的關係:把220的因數加起來:1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
=284,而把284的因數相加:1+2+4+71+142=220,220的因數之和等於284,284的因數之和等於220,所以220與284是一對友誼數,博士說:「是很難得的組合喔。不管是費瑪還是迪卡爾,都只有找到一組而已,是在上天安排下結合的數字。你不覺得很美嗎?你的生日和刻在我手腕上的數字竟然有如此奇妙的關聯。」這本小說會以類似這樣的方式,透過這些最純粹的數學關係,讓幾乎沒有辦法與他人保持聯繫的博士和管家母子有了美好的連結。透過這本小說,我才發現這些數字美妙的一面,當然美妙的一面是數學家經歷女王般嚴酷的追尋而來的。

更諷刺的是,對於數學的美好,我卻是透過這些文學小說才領略一二,也說不定這根本就只是小說家陰謀,文學的包裝讓數字的美感更具體。但至少,是有美感的,而這些美感我早該學數學之初便應該有人引導我去領略。除了數學之外,其實每個學科也都有其美感的存在,但我們的教育問題就在於此,不管美感,只管解題,解題只要記誦或者技巧,不需要美感,美感形成太浪費時間而且不一定是標準答案(美感怎麼能有標準?)。在這樣的教育制度下,我們被教養成什麼樣子?對於各種學科就是存畏懼之心,即使考得好,也不一定能領略其中的美好,國文好和歷史好有什麼差別?沒有,就只是記誦而已。這樣也導致學生在通過考試的束縛之後,很快地把強記的資訊全部放掉,這樣的例子比比皆是,多少人在大學第一年之後就已經忘記高中時強記的古文資料。李斯的〈諫逐客書〉不就是這樣被忘掉,不然這篇文章裡面句句驚悚地跟秦王解釋鎖國逐才的缺點,怎麼會到現今臺灣透過本土化的假面進行鎖國時,沒有人驚覺這是在中學時便接收過的古人智慧?台灣的政治領導者在名校中學想必也把整篇背起來,但在考完試之後便放諸流水。

沒有美感,便沒有動力去追尋,變成為渾噩者流得過且過,巴不得把以前被迫去唸誦的資料全部放開。但放開之後呢?不知道,反正只要拋掉那些被迫的不愉快經驗就夠了,科目變成老師教學錯誤(更該說制度下的錯誤)的替罪羊。也許考試制度難以解決,乏味的教科書無法儘速變革,但好歹讓學生瞭解各學科的價值和純粹的美感追尋。有幾次,我在上課時因為老師的講解感到震動,全身起雞皮疙瘩,但那都是在大學之後的是,高中以前的求學生涯,聽得懂就很不錯了,遑論感動。沒有感動,學生怎麼會喜歡?感動並不只是藝術科門才會感生的感受,理科也是有其純粹的理式之美,如前文所列舉的例子。我們能夠讓學生們感動嗎?也許這個社會的前途就關係在這個關於美感的感動裡面。


註釋:
1. 近幾年來符宇宙常數又被「變相地」撿回來,科學家發現讓宇宙加速膨脹的因素來自於「暗物質」和「暗能量」(千萬不要往星際大戰的帝國那邊想像…),估計宇宙中有百分之九十五是暗能量和暗物質,常見的一般物質如夸克、質子、中子、電子等約佔百分之四到五。

2. 此劇電影版由《莎翁情史》(Shakespeare in Love)的導演約翰‧麥登(John Madden)執導,可能是因為美國賣座極差,縱使有葛妮絲‧派特羅(Gwyneth Paltrow)、安東尼‧霍普金斯(Anthony Hopkins)、以及因《明天過後》(The Day after Tomorrow)、《斷背山》(Brokeback Mountain)而在全球大紅的傑克‧賈倫霍(Jake Gyllenhaal)等大牌演員也無力回天,在台灣直接發行DVD。

3. 費瑪最後定理指的是十七世紀的法國數學家皮埃爾‧德‧費瑪(Pierre de Fermat)在研究古希臘數學家狄歐番圖(Diophantus)編攥的名為《算術》的數論書籍時,在書頁邊緣所寫下的一個他沒有寫下證明,但卻暗示他知道證明的數學定理。費瑪讀到討論畢達哥拉斯定理,也就是大家在初階數學上一定會碰到的「直角三角形兩邊平方和等於斜邊的平方」:X2 + Y2 = Z2,X、Y、Z各有無限多解,但如果費瑪寫道:「不可能將一個立方數寫成兩個立方數寫成兩個立方數之和;或者加一個四次冪寫成兩個四次冪之和;或者,總的來說,不可能將一個高於二次的冪寫成兩個同樣次冪的和。」以算式來表示,就是說把畢達哥拉定理改成Xn + Yn = Zn,而n>2時,沒有正整數解。費瑪在寫下他的算式命題之後還再加了一個評註:「我有一個對這個命題十分美妙的證明,這裡空白太小,寫不下。」(Singh 59)。費瑪這個「惡作劇」苦惱了其後將近四百年的數學家,這是數學界的聖杯,大概也就是所有的數學家都都想得到的解答。最後答案揭曉在1993年,英國數學家安德魯‧懷爾斯(Andrew Wiles)驗證了費瑪的數學命題。



參考書目:
Auburn, David. Proof. New York: Dramatists Play Service Inc., 2001.

Haddon, Mark,林靜華 譯,《深夜小狗神秘習題》(The Curious Incident of the Dog in the Night-Time),台北:大塊文化,2005。

Magueijo, João,郭兆林 譯,《比光速還快》(Faster Than the Speed of Light),台北:大塊文化,2004。

Singh, Simon,薛密 譯,《費瑪最後定理》(Fermat’s Last Theorem),台北:臺灣商務印書館,1998。

小川洋子,王蘊潔 譯,《博士熱愛的算式》,台北:麥田出版,2004。


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  • 居樂斯
  • 被數學毒害太深,在小說看到關於數字,還會很懷疑的拿電算機加總一下, 關於數字如何有樂子好像還是很難說服。(倒是很愛算生命靈數之流:p)
  • YZ
  • 所以這篇就是說,為什麼我們很多事不想做,離開學校想放棄,就是因為缺乏美感的動力呀。而這些,是家長(家長是第一位)和老師所不在意的。
  • anarchichi
  • 總算活過來啦?但我都看不懂。。。
  • 弱慢
  • 我好愛"深夜小狗神秘習題"這本小說,買一本給你,我也順便留了一本,很快就看完,而且一開始看就停不下來,尤其是你引述的那一段關於質數的自述,真是經典。

    (不過你引用的是中文版,我還不太習慣就是了,感覺上英文版更簡潔有力。)
  • YZ
  • 讓大姊頭看不懂,那到底這篇文章是怎樣?雖然我自己寫寫停停三個月才寫完。(這大概也顯現出我對這主題的另一種不確定之處吧。)

    弱慢,你的意思是,我要再重看一次英文版就是囉?!
    這本書的作者Mark Haddon前一兩個月剛在英國出版一本詩集,先請你去翻翻看好不好再說。
  • anarchichi
  • 呵呵,其實是沒有靜下來看這篇長文。再看一次覺得還滿好玩的。我想你有說到一些重點。

    我也很愛質數,而且一直到現在,付錢找錢時,遇到47, 59等等數字,都還會在心裡想一下說,嗯,這是質數,而且我很喜歡3跟7跟他們的倍數,但是我也不知道為什麼。原來,這背後可能有一些關於美感的成因,哈真是好玩。

    不過我還是把《深夜小狗神祕習題》這本小說給忘光光了。然後電影版的《Proof》有點讓我昏昏欲睡,我覺得大概是葛妮絲演得太過於自溺又易受傷害讓人有點不耐說。
  • michelle
  • 數學很多coincidence,也許這就是它的魅力所在。
  • YZ
  • 但我在懷疑,到底我這篇是要講什麼?有講清楚嗎?還是要再寫一篇來補充?哈哈哈,寫不完哪。
  • 小杜白雲
  • 我是讀自然組的,但也沒發現過數學之美,只記得解題之爽而已!畢竟台灣的訓練大致是如此!

    在我看來,數學之美通常是留給天才的專利。非有異常的腦袋,不能真的創獲數學之美。通常都是數學之苦而已!

    記得高中的第一堂課,上的就是”數”,老師興沖沖的在黑板上寫了幾個偉大的證明,證明0的存在,證明0+0=0,0+1=1,1+1=2;這種證明對我這個初中剛畢業,成績平庸的學生來說,聽得懂才有鬼,事實上這個東西也不會考;他終究變成我一項在填鴉教育歷史中,建中菁英式教育的一段回憶而已!